注：转载请注明： 

前言:由于计算机运算是有模运算,数据范围的表示有一定限制,如整型int(C++中int 与long相同)表达范围是(-2^31~2^31-1),unsigned long(无符号整数)是(0~2^32-1),都约为几十亿.如果采用实数型,则能保存最大的double只能提供15~16位的有效数字,即只能精确表达数百万亿的数.因此,在计算位数超过十几位的数时,不能采用现有类型,只能自己编程计算.

高精度计算通用方法:高精度计算时一般用一个数组来存储一个数,数组的一个元素对应于数的一位(当然,在以后的学习中为了加快计算速度,也可用数组的一个元素表示数的多位数字,暂时不讲),表示时,由于数计算时可能要进位,因此为了方便,将数由低位到高位依次存在数组下标对应由低到高位置上,另外,我们申请数组大小时,一般考虑了最大的情况,在很多情况下,表示有富余,即高位有很多0,可能造成无效的运算和判断,因此,我们一般将数组的第0个下标对应位置来存储该数的位数.如数:3485(三千四百八十五)，表达在数组a[10]上情况是:

下标　　0  　 1　   2   　3   　　4 　  5    6    7    8    9  

内容　　4   　5  　 8   　4   　　3  　 0    0    0    0    0

说明：位数   个位  十位  百位　千位

具体在计算加减乘除时方法就是小学时采用的列竖式方法．

注：高精度计算时一般用正数，对于负数，通过处理符号位的修正．

一．高精度数的存储

１．如对数采用的字符串输入

1 #include 
     
       2 #include 
      
        3 using namespace std; 4 const int N=100;//最多100位 5 int main() 6 { 7 int a[N+1],i; 8 string s1; 9 cin>>s1;//数s110 memset(a,0,sizeof(a)); //数组清011 a[0]=s1.length(); //位数12 for(i=1;i<=a[0];i++) a[i]=s1[a[0]-i]-'0';//将字符转为数字并倒序存储．13 return 0;14 }
      
     

2.直接读入

1 #include 
     
       2 using namespace std; 3 const int N=100;//最多100位 4 int main() 5 { 6 int a[N+1],i,s,key; 7 cin>>key;//数key 8 memset(a,0,sizeof(a)); //数组清0 9 i=0;//第0位10 while(key)  //当key大于011 {12   a[++i]=key%10;//取第i位的数13   key=key/10;14 }15 a[0]=i; //共i位数16 return 0;17 }
     

3.直接初始化(用a[]存储)

初始化为0: memset(a,0,sizeof(a));

初始化为1: memset(a,0,sizeof(a));a[0]=1;a[1]=1;

以下程序都只写函数，不写完整程序，所有高精度数存储都满足上述约定。

二.高精度数比较

1 int compare(int a[],int b[])   //比较a和b的大小关系，若a>b则为1，a
     
      b[0]) return 1;//a的位数大于b则a比b大4 if (a[0]
      
       0;i--)  //从高位到低位比较6      {
   if (a[i]>b[i]) return 1;7       if (a[i]
      
     

三、高精度加法

1 int plus(int a[],int b[]) //计算a=a+b 2 {
   int i,k; 3 k=a[0]>b[0]?a[0]:b[0]; //k是a和b中位数最大的一个的位数 4 for(i=1;i<=k;i++) 5     {a[i+1]+=(a[i]+b[i])/10;  //若有进位，则先进位 6     a[i]=(a[i]+b[i])%10;}  //计算当前位数字,注意：这条语句与上一条不能交换。 7 if(a[k+1]>0) a[0]=k+1;  //修正新的a的位数（a+b最多只能的一个进位） 8                else a[0]=k; 9 return 0;10 }

 

四、高精度减法

 

1 int gminus(int a[],int b[]);//计算a=a-b，返加符号位0:正数 1:负数 2 { int flag,i 3   flag=compare(a,b); //调用比较函数判断大小 4 if (falg==0)//相等 5   {memset(a,0,sizeof(a));return 0;}  //若a=b，则a=0,也可在return前加一句a[0]=1,表示是 1位数0 6 if(flag==1) //大于   7   {  for(i=1;i<=a[0];i++) 8       {  if(a[i]

五、高精度乘法1(高精度乘单精度数，单精度数是指通常的整型数)

1 int multi1(int a[],long  key) //a=a*key,key是单精度数  2 {
   int i,k;3 if (key==0){memset(a,0,sizeof(a));a[0]=1;return 0;} //单独处理key=04 for(i=1;i<=a[0];i++)a[i]=a[i]*key;//先每位乘起来5 for(i=1;i<=a[0];i++){a[i+1]+=a[i]/10;a[i]%=10;} //进位6 //注意上一语句退出时i=a[0]+17 while(a[i]>0) {a[i+1]=a[i]/10;a[i]=a[i]%10;i++;a[0]++];}  //继续处理超过原a[0]位数的进位,修正a的位数8 return 0;9 }

六、 高精度除以低精度；

算法：按照从高位到低位的顺序，逐位相除。在除到第j位时，该位在接受了来自第j+1位的余数后与除数相除，如果最高位为零，则商的长度减一。源程序如下：

1 #include  
     
       2 #define   N  500 3 main() 4 { 5   int  a[N] = {
   0}, c[N] = {
   0}; 6   int  i, k, d, b; 7   char  a1[N];   8   printf("Input 除数:"); 9   scanf("%d", &b);10   printf("Input 被除数:");11   scanf("%s", a1);12   k = strlen(a1);13   for(i = 0; i < k; i++)  a[i] = a1[k - i - 1] - '0';14   d = 0;15   for(i = k - 1; i >= 0 ; i--)16   {17      d = d * 10 + a[i];18      c[i] = d / b;19      d = d % b;      20   }   21   while(c[k - 1] == 0 && k > 1)  k--;  22   printf("商=");23   for(i = k - 1; i >= 0; i--)  printf("%d", c[i]);24   printf("\n余数=%d", d);   25 }
     

七、高精度乘以高精度（要求用尽可能少的存储单元）；

算法：用数组保存两个高精度数，然后逐位相乘，注意考虑进位和总位数。源程序如下：

1 #include  
     
       2 main() 3 { 4   int  a[240] = {
   0}, b[240] = {
   0}, c[480] = {
   0}; 5   int  i, j, ka, kb, k; 6   char  a1[240], b1[240]; 7   gets(a1);    8   ka = strlen(a1); 9   gets(b1);   10   kb = strlen(b1);11   k = ka + kb;12   for(i = 0; i < ka; i++)  a[i] = a1[ka-i-1] - '0';13   for(i = 0; i < kb; i++)  b[i] = b1[kb-i-1] - '0';14   for(i = 0; i < ka; i++)15     for(j = 0; j < kb; j++)16     {17       c[i + j] = c[i + j] + a[i] * b[j];18       c[i + j +1] = c[i + j +1] + c[i + j]/10;19       c[i + j] = c[i + j] % 10;20     }21   if(!c[k])  k--;22   for(i = k-1; i >= 0; i--)  printf("%d", c[i]);        23 }
     

八、高精度除以高精度（要求用尽可能少的存储单元）；

算法：用计算机模拟手算除法，把除法试商转化为连减。

1 #include  
     
        2 #define   N  500  3 int  bj(int a[], int b[], int k1, int k2)   /*比较大小函数*/  4 {  5    int i, t, flag;       /*flag作标志位*/  6    if(k1 < k2)    7      flag = 0;           /*被除数小于除数返回0*/  8    else if(k1 > k2)    9           flag = 1;      /*被除数大于除数返回1*/ 10         else 11           {              /*被除数和除数位数相等则逐位进行比较*/ 12             i = k1; 13             t = 0; 14             while(t == 0 && i > 0) 15             { 16               if(a[i] > b[i]) {t = 1; flag = 1;} 17               else if(a[i] == b[i])  i--; 18               else  {t = 1; flag = 0;}         19             } 20             if(i == 0 && t == 0)  flag = 2;     /*被除数等于除数返回2*/ 21           } 22   return flag;            23 } 24 int  jf(int a[], int b[], int k1, int k2)       /*减法运算*/ 25 { 26   int  i, k, d[N]; 27   for(i = 0; i < k2; i++)  d[i] = b[i];        /*把除数赋给数组d*/ 28   for(i = k2; i < N; i++)  d[i] = 0;          /*d数组无数据的高位置0*/ 29   k = k1 - k2 - 1;                            /*计算减法起始位置*/ 30   if(k < 0)  k = 0; 31   if(k > 0) 32   { 33     for(i = k2 - 1; i >= 0; i--)  d[i + k] = d[i];  /*移动减数位数与被减数对齐*/ 34     for(i = 0; i < k; i++)  d[i] = 0;            /*移动后的其余位置0*/ 35   }   36   for(i = 0; i < k1; i++) 37   { 38     if(a[i] >= d[i])  a[i] -= d[i]; 39     else 40     { 41       a[i + 1] = a[i + 1] - 1; 42       a[i] = 10 + a[i] - d[i];   43     }      44   }    45   return k; 46 } 47 main() 48 { 49   int  a[N] = {
   0}, b[N] = {
   0}, c[N] = {
   0}, d[N] = {
   0}; 50   int  i, ka, kb, m, t, t1, t2, k, x, kd, kk; 51   char  a1[N], b1[N];   52   printf("Input 被除数:"); 53   scanf("%s", a1); 54   ka = strlen(a1); 55   for(i = 0; i < ka; i++)  a[i] = a1[ka - i -1] - '0'; 56   printf("Input 除数:"); 57   scanf("%s", b1); 58   kb = strlen(b1); 59   for(i = 0; i < kb; i++)  b[i] = b1[kb - i -1] - '0'; 60   kd = ka;    /*保存被除数位数  */ 61   t2 = bj(a, b, ka, kb); 62   m = 0; 63   do 64   { 65     while(a[ka - 1] == 0)  ka--; 66     t = bj(a, b, ka, kb);    67     if(t >= 1) 68     { 69       k = jf(a, b, ka, kb); 70       c[k]++;       71       if(k > m)  m = k; 72       t1 = 0; 73       for(i = k; i <= m; i++) 74       { 75         x = c[i] + t1; 76         c[i] = x % 10; 77         t1 = x / 10;      78       } 79       if(t1 > 0)  {m++; c[m] = t1;  }      80     }    81   }while(t == 1); 82   if(t2 == 0)   83   { 84     printf("商=0");   85     printf("\n余数="); 86     for(i = kd - 1; i >= 0; i--)  printf("%d", a[i]); 87     exit(1);   88   } 89   if(t2 == 2) 90   { 91     printf("商 = 1");   92     printf("\n余数 = 0"); 93     exit(1);   94   } 95   kk = kd; 96   while(!c[kd - 1])  kd--; 97   printf("商 = "); 98   for(i = kd - 1; i >= 0; i--)  printf("%d", c[i]); 99   while(!a[kk])  kk--;100   printf("\n余数 = ");101   if(kk < 0)  102   {103     printf("0");  104     exit(1);105   }106   for(i = kk; i >= 0; i--)  printf("%d", a[i]);107 }
     

下面给出一些案例：

问题1. N！，要求精确到P位（0〈P〈1000〉。

算法：结果用数组a保存，开始时a[0]=1，依次乘以数组中各位，注意进位和数组长度的变化。源程序如下：

1 #include   
     
       2 #define    M   1000 3 main() 4 { 5   int a[M], i, n, j, flag = 1; 6   printf("n="); 7   scanf("%d",&n); 8   printf("n!="); 9   a[0] = 1;10   for(i = 1; i < M; i++) a[i] = 0;11    for(j = 2; j <= n; j++)12    {13      for(i = 0; i < flag; i++) a[i] *= j;14      for(i = 0; i < flag; i++)15        if(a[i] >= 10)16        {17          a[i+1] += a[i]/10;18          a[i] = a[i] % 10;19          if(i == flag-1)  flag++;20        }21     }22   for(j = flag - 1; j >= 0; j--)23     printf("%d", a[j]);24 }
     

问题2. 麦森数

【问题描述】形如2P-1的素数称为麦森数，这时P一定也是个素数。但反过来不一定，即如果P是个素数，2P-1不一定也是素数。到1998年底，人们已找到了37个麦森数。最大的一个是P=3021377，它有909526位。麦森数有许多重要应用，它与完全数密切相关。

任务：从文件中输入P（1000<P<3100000），计算2P-1的位数和最后500位数字（用十进制高精度数表示）

【输入格式】

文件中只包含一个整数P（1000<P<3100000）

【输出格式】

第一行：十进制高精度数2P-1的位数。

第2-11行：十进制高精度数2P-1的最后500位数字。（每行输出50位，共输出10行，不足500位时高位补0）

不必验证2P-1与P是否为素数。

【输入样例】

1279

【输出样例】

386

00000000000000000000000000000000000000000000000000

00000000000000000000000000000000000000000000000000

00000000000000104079321946643990819252403273640855

38615262247266704805319112350403608059673360298012

23944173232418484242161395428100779138356624832346

49081399066056773207629241295093892203457731833496

61583550472959420547689811211693677147548478866962

50138443826029173234888531116082853841658502825560

46662248318909188018470682222031405210266984354887

32958028878050869736186900714720710555703168729087

算法：2的幂可以转化成左移运算，为了提高运算速度，可每次左移10位，即每次乘210。对于个位单独考虑，每次左移一位。源程序如下：

1 #include 
     
       2 #include 
      
        3 #define  MAX  100000 4 main() 5 { 6    int p; 7    int i, j; 8    scanf("%d", &p); 9    printf("%d\n", (int)(p * log10(2.0)) + 1);10    long  store[110] = {
   0};11    store[0] = 1;12    int left = p % 10;13    p /= 10;14     for(i = 1; i <= p; i++)15     {16       for(j = 0; j <= 100; j++)17         store[j] <<= 10;18       for(j = 0; j <= 100; j++)19       {20         if(store[j] >= MAX)21         {22           store[j + 1] += store[j] / MAX;23           store[j] %= MAX;24         }25       }26     }27     for(i = 1; i <= left; i++)28     {29       for(j = 0; j <= 100; j++)30         store[j] <<= 1;31       for(j = 0; j <= 100; j++)32       {33         if(store[j] >= MAX)34         {35           store[j + 1] += store[j] / MAX;36           store[j] %= MAX;37         }38       }39     }40     store[0] -= 1;41     for(i = 1; i < 100; i++)42     {43       if(store[i - 1] < 0)44       {45          store[i] -= 1;46          store[i - 1] += MAX;47       }48       else49         break;50     }51     for(i = 99; i >= 0; i--)52     {53       printf("%05d", store[i]);54       if((100 - i) % 10 == 0)55           printf("\n");56     }57 }
      
     

问题3. 有一个正整数N（N可能达到120位），它是由若干个不大于65535的正整数相乘而得到的。请把这个数分解成素数因子（质因子）的乘积。

输入：输入文件只有一行为N的值。

输出：（1）素数因子由小到大分行输出；

（2）每一行输出一个素数因子和该素数因子的个数，用一个空格分开；

（3）如果正整数N的分解中有一个以上的大于65535的素数，请按照（1）、（2）的要求输出分解中的小于65535的素数后，在下一行输出

“DATA  ERROR！”。

算法：先将2到65535之间的所有素数保存在数组中，用这个数去除数组中的每一个数，得到一个质因数就打印出来。源程序如下：

1 #include  
     
       2 #include  
      
        3 int length, temp[120]; 4 int sushu(int a[]) 5 { 6   int i, j, k = 0, m; 7   for(i = 2; i <= 65537; i++) 8   { 9     m = sqrt(i);10     for(j = 2; j <= m; j++)11       if(i % j == 0)  break;12     if(j > m)13     {14       a[k] = i;15       k++;   16     }         17   }18  return k;     19 }20 int divide(int a[], int k)21 {22   int i, d = 0;23   for(i = length - 1; i >= 0; i--)24   {25      d = d * 10 + a[i];26      temp[i] = d / k;27      d = d % k;      28   }   29   if(!d)30     {31       while(temp[length - 1] == 0 && length > 1)  length--;32       for(i = 0; i < length; i++)33       {34         a[i] = temp[i];35         temp[i] = 0;      36       }37       for(i = length; i < 120; i++) a[i] = 0;   38     }39     else  40       for(i = 0; i < length; i++)  temp[i] = 0;41   return d;     42 }43 main()44 {45   int i, k, s, d;       /*s计数器; d余数*/46   int a[6600], b[120] = {
   0}, c[120] = {
   0};47   char b1[120];48   gets(b1);49  length = strlen(b1);50   for(i = 0; i < length; i++)  b[i] = b1[length - i - 1] - '0';51   k = sushu(a);52   for(i = 0; i < k; i++)53   {54     s = 0;55     d = divide(b, a[i]);56     while(!d)57     {58       s++;59       d = divide(b, a[i]);         60     }61     if(i == k - 1)  62  63     {  64       printf("Data Error!");65       break;66     }